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La fonction exponentielle
Savoir définir la fonction exponentielle comme unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1, utiliser ses propriétés algébriques pour transformer une expression, connaître son signe, son sens de variation et sa courbe, dériver t ↦ e^{at} et modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle.
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Ce que dit la fiche
Les points essentiels
- La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. Son existence et son unicité sont admises.
- Pour tous réels x et y, exp(x+y) = exp(x) × exp(y). Cette propriété algébrique sert à transformer les expressions.
- Pour tout réel x, exp(x) × exp(-x) = 1. Donc exp(x) est toujours strictement positif.
- Pour tous réels x et y, on a exp(x-y) = exp(x) / exp(y) et exp(-x) = 1 / exp(x).
- Le nombre e est l'image de 1 : e = exp(1), avec e ≈ 2,718. On note e^{x} le nombre exp(x).
- La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Sa courbe passe par le point de coordonnées (0 ; 1).
- Pour tout réel a, la fonction t ↦ e^{at} a pour dérivée t ↦ a e^{at}.
- Pour k > 0, la fonction t ↦ e^{kt} est croissante et la fonction t ↦ e^{-kt} est décroissante : ces fonctions servent à modéliser une évolution à taux fixe ou une décroissance radioactive.
- Pour tout entier naturel n, exp(n) = e^{n} : la suite des exp(n) est géométrique de raison e.
Les mots à connaître
- Fonction exponentielle
- La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ dont la dérivée est elle-même et qui vérifie f(0) = 1. On la note exp.
- Nombre e
- Le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle : e = exp(1). C'est un nombre réel, e ≈ 2,718.
- Notation e^{x}
- Pour tout réel x, e^{x} désigne le nombre exp(x). Les deux écritures exp(x) et e^{x} ont exactement le même sens.
La méthode, étape par étape
- Transformer une expression — étape 1 : repère les exponentielles présentes et leurs exposants.
- Transformer une expression — étape 2 : utilise exp(x+y) = exp(x) × exp(y) pour regrouper deux facteurs en une seule exponentielle.
- Transformer une expression — étape 3 : utilise exp(-x) = 1 / exp(x) et exp(x-y) = exp(x) / exp(y) pour gérer les quotients.
- Transformer une expression — étape 4 : additionne ou soustrais les exposants, puis vérifie le résultat en remplaçant x par une valeur simple.
- Dériver t ↦ e^{at} — étape 1 : reconnais la forme t ↦ e^{at} et repère la valeur du réel a.
- Dériver t ↦ e^{at} — étape 2 : applique f'(t) = a e^{at} en conservant l'exposant a t.
- Étudier une évolution — étape 1 : écris la grandeur sous la forme C_{0} e^{kt} et identifie le signe de k.
- Étudier une évolution — étape 2 : si k > 0 la grandeur croît, si k < 0 elle décroît, puis calcule la valeur demandée.
Des exemples résolus
Simplifie l'expression A = e^{2x} × e^{-x} × e^{-x} pour tout réel x.
Correction
A = e^{2x} × e^{-x} × e^{-x}. On regroupe les exposants avec exp(x+y) = exp(x) × exp(y) : A = e^{2x} × e^{-x-x} = e^{2x} × e^{-2x}. Or exp(2x) × exp(-2x) = 1. Donc A = 1.
Calcule la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(t) = e^{5t}.
Correction
f est de la forme t ↦ e^{at} avec a = 5. La dérivée vaut f'(t) = a e^{at}. Donc f'(t) = 5 e^{5t}.
Un capital initial C_{0} est placé à taux fixe. On pose C(t) = C_{0} e^{0,03t} pour t en années. Calcule C(1) arrondi à 10^{-3} près et indique le sens de variation de C.
Correction
On remplace t par 1 : C(1) = C_{0} e^{0,03×1} = C_{0} e^{0,03}. Or e^{0,03} ≈ 1,030. Donc C(1) ≈ 1,030 C_{0}. Ici k = 0,03 > 0, donc la fonction t ↦ e^{0,03t} est croissante, et le capital C(t) augmente.
Les pièges à éviter
- Confondre exp(x+y) et exp(x) + exp(y).
- Croire que exp(x) peut être négatif.
- Oublier le facteur a en dérivant t ↦ e^{at} et écrire e^{at}.
Teste-toi
Simplifie l'expression e^{x+1} / e^{x} pour tout réel x.
Voir la réponse
e^{x+1} / e^{x} = e.
On utilise exp(x-y) = exp(x) / exp(y) : e^{x+1} / e^{x} = e^{(x+1)-x} = e^{1} = e.
Donne la dérivée de la fonction g définie sur ℝ par g(t) = e^{-2t}.
Voir la réponse
g'(t) = -2 e^{-2t}.
g est de la forme t ↦ e^{at} avec a = -2. La dérivée est g'(t) = a e^{at}, donc g'(t) = -2 e^{-2t}.
Indique le sens de variation de la fonction exponentielle sur ℝ et justifie-le.
Voir la réponse
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Sa dérivée est elle-même, donc exp'(x) = exp(x). Or exp(x) > 0 pour tout réel x. Une dérivée strictement positive donne une fonction strictement croissante.
Ce que tu vas découvrir
- La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. Son existence et son unicité sont admises.
- Pour tous réels x et y, exp(x+y) = exp(x) × exp(y). Cette propriété algébrique sert à transformer les expressions.
- Pour tout réel x, exp(x) × exp(-x) = 1. Donc exp(x) est toujours strictement positif.
- Pour tous réels x et y, on a exp(x-y) = exp(x) / exp(y) et exp(-x) = 1 / exp(x).
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